Tle

Propriétés des intégrales

Ce quiz comporte 6 questions


moyen

Tle - Propriétés des intégrales1

Soit :

A=10t2et dt A = \int_{-1}^{ 0 } t^2 \text{e}^{ -t } \ \text{d}t

A0A \geqslant 0.

Tle - Propriétés des intégrales1
Tle - Propriétés des intégrales1
Tle - Propriétés des intégrales1

C'est vrai.

Sur l'intervalle [1 ; 0] \left[ -1~;~0 \right]  :

t20 t^2 \geqslant 0 et et0 \text{e}^{ -t } \geqslant 0

donc t2et0 t^2 \text{e}^{ -t } \geqslant 0 et par positivité de l'intégrale A0. A \geqslant 0.

Tle - Propriétés des intégrales2

Soit le nombre réel :

I=0πt4sint dt I = \int_{0}^{ \pi } t^4 \sin t \ \text{d}t

II est positif ou nul.

Tle - Propriétés des intégrales2
Tle - Propriétés des intégrales2
Tle - Propriétés des intégrales2

C'est vrai.

En effet, sur l'intervalle [0 ; π] \left[ 0~;~ \pi \right]  :

t40t^4 \geqslant 0 et sint0 \sin t \geqslant 0

Par conséquent t4sint0t^4 \sin t \geqslant 0 et I0 I \geqslant 0 (propriété de positivité des intégrales).

Tle - Propriétés des intégrales3

Soient les réels :

I=01xexdx I = \int_{0}^{1} x \text{e}^{ x } \text{d}x

J=01x2exdx J = \int_{0}^{1} x^2 \text{e}^{ x } \text{d}x

IJ I \leqslant J

Tle - Propriétés des intégrales3
Tle - Propriétés des intégrales3
Tle - Propriétés des intégrales3

C'est faux.

Sur l’intervalle [0 ; 1] \left[ 0~;~1 \right] , xx2 x \geqslant x^2 ( sur [0 ; 1] \left[ 0~;~1 \right] la parabole d'équation y=x2 y=x^2 est située au-dessous de la droite d'équation y=x y = x ) donc xexx2ex x \text{e}^{ x } \geqslant x^2 \text{e}^{ x } (produit par un nombre positif).

Par conséquent : IJ I \geqslant J

Tle - Propriétés des intégrales4

Soit A \mathscr{A} l'aire ( en unité d'aire ) du domaine délimité par la courbe de la fonction « carré », l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 x=0 et x=1. x=1.

A=13. \mathscr{A} = \frac{ 1 }{ 3 }.

Tle - Propriétés des intégrales4
Tle - Propriétés des intégrales4
Tle - Propriétés des intégrales4

C'est vrai.

L'aire A \mathscr{A} est égale à :

A=01x2dx \mathscr{A} = \int_{0}^{1} x^2 \text{d}x

Une primitive de la fonction xx2 x \longmapsto x^2 est la fonction xx33 x \longmapsto \frac{ x^3 }{ 3 } , donc :

A=[x33]01=13. \mathscr{A} = \left[ \frac{ x^3 }{ 3 } \right] _0^1 = \frac{ 1 }{ 3 }.

Tle - Propriétés des intégrales5

Soit la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par :

g(x)=0xtsint dt. g(x) = \int_{0}^{x} t \sin t\ \text{d}t.

La fonction gg est une primitive de la fonction xxsinx x \longmapsto x \sin x sur R.\mathbb{R}.

Tle - Propriétés des intégrales5
Tle - Propriétés des intégrales5
Tle - Propriétés des intégrales5

C'est vrai.

En effet, si ff est une fonction continue sur R\mathbb{R} et aa un réel quelconque, la fonction :

xaxf(t)dt x \longmapsto \int_{a}^{x} f(t) \text{d}t

est une primitive de la fonction ff.

Tle - Propriétés des intégrales6

Pour tout entier naturel nn, on pose :

un=01xndx. u_n = \int_{0}^{1} x^n \text{d}x.

La suite (un)(u_n) est croissante.

Tle - Propriétés des intégrales6
Tle - Propriétés des intégrales6
Tle - Propriétés des intégrales6

C'est faux.

Pour tout entier naturel nn : xnxn+1 x^n \geqslant x^{n+1} sur l'intervalle [0 ; 1] \left[ 0~;~1 \right] .

Donc unun+1 u_n \geqslant u_{ n+1 } et la suite (un)(u_n) est décroissante.

N.B. : On peut également calculer un=1n+1. u_n = \frac{ 1 }{ n+1 }.