Tle

Loi binomiale

Ce quiz comporte 6 questions


moyen

Tle - Loi binomiale1

Soit XX une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.

La variance V(X) V(X) est toujours inférieure ou égale à l'espérance E(X).E(X).

Tle - Loi binomiale1
Tle - Loi binomiale1
Tle - Loi binomiale1

C'est vrai.

Pour une variable aléatoire XX qui suit la loi binomiale B(n ;p) \mathscr{B} (n~; p)  :

E(X)=np E(X) = np

V(X)=np(1p)=E(X)×(1p)V(X) = np(1-p)=E(X) \times (1-p)

Comme 1p1 1-p \leqslant 1 , la variance V(X) V(X) est inférieure ou égale à l'espérance E(X).E(X).

Tle - Loi binomiale2

On lance 3030 fois un dé équilibré à six faces.

En moyenne, le nombre de « 6 » obtenus sera égal à 5.

Tle - Loi binomiale2
Tle - Loi binomiale2
Tle - Loi binomiale2

C'est vrai.

Le nombre de « 6 » obtenus suit la loi binomiale B(30 ;16) \mathscr{B} \left( 30~; \frac{ 1 }{ 6 } \right) .

Le nombre moyen de succès est donné par l'espérance mathématique de cette variable aléatoire :

E(X)=np=30×16=5. E(X) = np = 30 \times \frac{ 1 }{ 6 } = 5.

Tle - Loi binomiale3

On lance 44 fois un dé équilibré à six faces.

La probabilité d'obtenir au moins un « 6 » est égale à 15464.1 -\frac{ 5^4 }{ 6^4 }.

Tle - Loi binomiale3
Tle - Loi binomiale3
Tle - Loi binomiale3

C'est vrai.

Notons AA l'événement « obtenir au moins un six » . L'événement contraire A \overline{ A } est « n'obtenir aucun six ». Sa probabilité est :

p(A)=(60)×(16)0×(56)4=5464 p \left( \overline{ A } \right) = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix} \times \left( \frac{ 1 }{ 6 } \right) ^0 \times \left( \frac{ 5 }{ 6 } \right) ^4 = \frac{ 5^4 }{ 6^4 }

La probabilité de A est donc :

p(A)=1p(A)=15464. p(A) = 1 -p( \overline{ A } )= 1 -\frac{ 5^4 }{ 6^4 }.

Tle - Loi binomiale4

On tire trois fois de suite et avec remise, une boule d'un sac contenant 2 boules rouges et 3 boules noires.

Soit XX la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées.

p(X=1)=36125. p(X=1) = \frac{ 36 }{ 125 }.

Tle - Loi binomiale4
Tle - Loi binomiale4
Tle - Loi binomiale4

C'est vrai.

XX suit la loi binomiale B(3 ;35). \mathscr{B} \left( 3~; \frac{ 3 }{ 5 } \right) .

p(X=1)=(31)×(35)1×(25)2 p \left( X= 1 \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix} \times \left( \frac{ 3 }{ 5 } \right) ^1 \times \left( \frac{ 2 }{ 5 } \right) ^2 =3×35×425=36125. = 3 \times \frac{ 3 }{ 5 } \times \frac{ 4 }{ 25 } = \frac{ 36 }{ 125 }.

Tle - Loi binomiale5

Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(10 ;0,5) \mathscr{B} ( 10~; 0,5) .

p(X=5)=(105)×0,510 p(X=5) = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} \times 0,5^{10}

Tle - Loi binomiale5
Tle - Loi binomiale5
Tle - Loi binomiale5

C'est vrai.

p(X=5)=(105)×0,55×0,55 p \left( X= 5 \right) = \begin{pmatrix} 10 \\ 5\end{pmatrix} \times 0,5^5 \times 0,5^5 =(105)×0,510. =\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} \times 0,5^{10}.

Tle - Loi binomiale6

On lance six fois une pièce de monnaie bien équilibrée. On suppose que les lancers sont indépendants les uns des autres.

À chaque lancer, on gagne 2 euros si le résultat est « Pile » , on perd 3 euros dans le cas contraire.

On note XX la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue des six lancers.

XX suit la loi binomiale B(6 ;12). \mathscr{B} \left( 6~; \frac{ 1 }{ 2 } \right).

Tle - Loi binomiale6
Tle - Loi binomiale6
Tle - Loi binomiale6

C'est faux.

La variable aléatoire XX de l'énoncé ne comptabilise pas le nombre de succès ; elle ne suit donc pas une loi binomiale.

Remarque : Une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ne prend que des valeurs entières positives , ce qui n'est pas le cas pour le gain algébrique qui est négatif en cas de perte.