Tle

Limites de fonctions (4)

Ce quiz comporte 6 questions


difficile

Tle - Limites de fonctions (4)1

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=1x(cosx+2).f(x)=\dfrac{1}{x(\cos x + 2)}.

La fonction ff n'admet pas de limite quand xx tend vers ++\infty.

Tle - Limites de fonctions (4)1
Tle - Limites de fonctions (4)1
Tle - Limites de fonctions (4)1

C'est faux.

Pour x0x \neq 0 :

1cosx1-1 \leqslant \cos x \leqslant 1

13x1x(cosx+2)1x\dfrac{1}{3x} \leqslant \dfrac{1}{x(\cos x + 2)} \leqslant \dfrac{1}{x}

Donc, d'après le théorème des gendarmes :

limx+1x(cosx+2)=0.\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x(\cos x + 2)}= 0.

Tle - Limites de fonctions (4)2

Soit la fonction ff définie sur ]0 ; +[]0~;~+\infty[ par :

f(x)=xxx+x.f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}.

limx+f(x)=1\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= 1

Tle - Limites de fonctions (4)2
Tle - Limites de fonctions (4)2
Tle - Limites de fonctions (4)2

C'est vrai.

En factorisant xx au numérateur et au dénominateur on trouve :

limx+f(x)=limx+x(11/x)x(1+1/x)\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x(1-1/\sqrt{x})}{x(1+1/\sqrt{x})} =limx+11/x1+1/x=1 = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1-1/\sqrt{x}}{1+1/\sqrt{x}} = 1

Tle - Limites de fonctions (4)3

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=xsinx.f(x)=x \sin x.

limx+f(x)=+\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= +\infty

Tle - Limites de fonctions (4)3
Tle - Limites de fonctions (4)3
Tle - Limites de fonctions (4)3

C'est faux.

ff n'admet pas de limite quand xx tend vers +.+\infty.

Tle - Limites de fonctions (4)4

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=x+sinx.f(x)=x + \sin x.

limxf(x)=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)= -\infty

Tle - Limites de fonctions (4)4
Tle - Limites de fonctions (4)4
Tle - Limites de fonctions (4)4

C'est vrai.

x+sinxx+1 x + \sin x \leqslant x+1

Donc, d'après un théorème de comparaison :

limxf(x)=.\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)= -\infty.

Tle - Limites de fonctions (4)5

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=x2(sinx+5).f(x)=x^2(\sin x +5).

limxf(x)=+\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)= +\infty

Tle - Limites de fonctions (4)5
Tle - Limites de fonctions (4)5
Tle - Limites de fonctions (4)5

C'est vrai.

Pour tout réel xx

1sinx-1 \leqslant \sin x

4sinx+54 \leqslant \sin x +5

4x2x2(sinx+5)4x^2 \leqslant x^2(\sin x +5)

Or limx+4x2=+.\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow +\infty}4x^2= +\infty. donc, d'après un théorème de comparaison :

limx+x2(sinx+5)=+.\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow +\infty}x^2(\sin x +5)= +\infty.

Tle - Limites de fonctions (4)6

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=x2+1x.f(x)=\sqrt{x^2+1}-x.

limx+f(x)=0\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= 0

Tle - Limites de fonctions (4)6
Tle - Limites de fonctions (4)6
Tle - Limites de fonctions (4)6

C'est vrai.

On multiplie et on divise par l'expression conjuguée x2+1+x \sqrt{x^2+1}+x  :

limx+f(x)=limx+(x2+1x)(x2+1+x)(x2+1+x)\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{(\sqrt{x^2+1}+x)}

=limx+1x2+1+x=0=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}= 0