Tle

Limites de fonctions (3)

Ce quiz comporte 6 questions


moyen

Tle - Limites de fonctions (3)1

Soit la fonction ff définie sur R\{0}\mathbb{R} \backslash \{0\} par :

f(x)=xx.f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x}.

limx+f(x)=0\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= 0

Tle - Limites de fonctions (3)1
Tle - Limites de fonctions (3)1
Tle - Limites de fonctions (3)1

C'est vrai.

limx+xx=limx+1x=0\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x}}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}}= 0

Tle - Limites de fonctions (3)2

limx1x21x1=+\lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}= +\infty

Tle - Limites de fonctions (3)2
Tle - Limites de fonctions (3)2
Tle - Limites de fonctions (3)2

C'est faux.

limx1x21x1=limx1(x1)(x+1)x1\lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}= \lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=limx1(x+1)=2= \lim\limits_{x \rightarrow 1} (x+1)=2

Tle - Limites de fonctions (3)3

limx+sinxx=1\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow +\infty}\dfrac{\sin x}{x}= 1

Tle - Limites de fonctions (3)3
Tle - Limites de fonctions (3)3
Tle - Limites de fonctions (3)3

C'est faux.

Pour x>0x > 0 :

1xsinxx1x-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\sin x}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}

Donc, d'après le théorème des gendarmes :

limx+sinxx=0.\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow +\infty}\dfrac{\sin x}{x}= 0.

N.B. : C'est lorsque x x tend vers 0 0 que sinxx\dfrac{\sin x}{x} tend vers 1. 1.

Tle - Limites de fonctions (3)4

Soit une fonction ff définie sur R\mathbb{R} telle que :

limx+f(x)=+\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= +\infty.

Alors : limx+xf(x)=+\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} xf(x)= +\infty

Tle - Limites de fonctions (3)4
Tle - Limites de fonctions (3)4
Tle - Limites de fonctions (3)4

C'est vrai.

C'est un produit dont chaque facteur tend vers + +\infty.

Tle - Limites de fonctions (3)5

Soit la fonction ff définie sur [0 ; +[[0~;~+\infty[ par :

f(x)=xx.f(x)=x-\sqrt{x}.

limx+f(x)=0\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= 0

Tle - Limites de fonctions (3)5
Tle - Limites de fonctions (3)5
Tle - Limites de fonctions (3)5

C'est faux.

Pour x0x \geqslant 0 : f(x)=x(x1)f(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1) donc :

limx+f(x)=+\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= +\infty

Tle - Limites de fonctions (3)6

limx1x<1x+1x1=+\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow 1 \atop\scriptstyle x < 1}\dfrac{x+1}{x-1}= +\infty

Tle - Limites de fonctions (3)6
Tle - Limites de fonctions (3)6
Tle - Limites de fonctions (3)6

C'est faux.

Le numérateur est positif et le dénominateur tend vers 0 0 en étant négatif donc :

limx1x<1x+1x1=\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow 1 \atop\scriptstyle x < 1}\dfrac{x+1}{x-1}= -\infty