Tle

Équations / inéquations avec logarithmes

Ce quiz comporte 6 questions


moyen

Tle - Équations / inéquations avec logarithmes1

Soit l'inéquation :

ln(1+x2)0. \ln \left( 1+x^2 \right) \geqslant 0.

L'ensemble des solutions de cette inéquation est S=R. S = \mathbb{R}.

Tle - Équations / inéquations avec logarithmes1
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes1
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes1

C'est vrai.

Tout d'abord, remarquons que 1+x2>0 1+x^2 > 0 donc ln(1+x2) \ln \left( 1+x^2 \right) est bien défini pour tout réel xx.

ln(1+x2)01+x2e0 \ln \left( 1+x^2 \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow 1+x^2 \geqslant \text{e}^{ 0 }

1+x21\Leftrightarrow 1+x^2 \geqslant 1

x20\Leftrightarrow x^2 \geqslant 0

et cette inégalité est vraie pour tout xR.x \in \mathbb{R}.

Tle - Équations / inéquations avec logarithmes2

On considère l'équation (E) \left( E \right) suivante :

ln(x)=1 \ln \left( x \right) = -1

L'équation (E) \left( E \right) n'a pas de solution dans R\mathbb{R}.

Tle - Équations / inéquations avec logarithmes2
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes2
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes2

C'est faux.

L'équation (E) (E) admet une solution dans R\mathbb{R} :

ln(x)=1x=e1=1e \ln \left( x \right) = -1 \Leftrightarrow x = \text{e}^{ -1 } = \frac{ 1 }{ \text{e} }

donc S={1e}. S = \left\{ \frac{ 1 }{ \text{e} } \right\}.

Tle - Équations / inéquations avec logarithmes3

On considère l'équation (E) \left( E \right) ci-dessous :

xln(x)=0 x \ln \left( x \right) = 0

Dans R\mathbb{R}, l'ensemble des solutions de (E) (E) est S={0 ;1}. S = \left\{ 0~; 1 \right\}.

Tle - Équations / inéquations avec logarithmes3
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes3
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes3

C'est faux.

ln(x)\ln \left( x \right) n'est défini que pour x>0x > 0 donc 0 0 ne peut pas être solution de cette équation.

La seule solution valable est donc 1 1 (qui annule ln(x) \ln (x) ).

S={1}. S = \left\{ 1 \right\}.

Tle - Équations / inéquations avec logarithmes4

On considère l'inéquation :

ln(x2+3x)<2ln2 \ln \left( x^2 + 3x \right) < 2 \ln 2

L'ensemble des solutions de cette inéquation est S=]4 ; 1[. S = \left] -4~;~1 \right[.

Tle - Équations / inéquations avec logarithmes4
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes4
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes4

C'est faux.

x2+3x=x(x+3)x^2 + 3x = x(x+3) a pour racines 3 -3 et 00 et est strictement positif si et seulement si x] ; 3[]0 ; +[.x \in \left] -\infty ~;~-3\right[ \cup \left] 0~;~ +\infty \right[.

Donc l'équation n'est définie que sur D=] ; 3[]0 ; +[. \mathscr{D} = \left] -\infty ~;~-3\right[ \cup \left] 0~;~ +\infty \right[.

Sur cet ensemble , on trouve en effet après calculs :

ln(x2+3x)<2ln2x]4 ; 1[\ln \left( x^2 + 3x \right) < 2 \ln 2 \Leftrightarrow x \in \left] -4~;~1 \right[

mais compte tenu de l'ensemble de définition :

S=]4 ; 3[]0 ; 1[ S = \left] -4 ~;~-3\right[ \cup \left] 0~;~1 \right[

Tle - Équations / inéquations avec logarithmes5

L'ensemble des solutions de l'inéquation ln(x+1)1 \ln \left( x+1 \right) \leqslant 1 est S=] ; e1]. S = \left] -\infty~;~ \text{e} -1 \right].

Tle - Équations / inéquations avec logarithmes5
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes5
Tle - Équations / inéquations avec logarithmes5

C'est faux.

ln(x+1) \ln \left( x+1 \right) est défini sur l'intervalle ]1 ; +[. \left] -1~;~ +\infty \right[.

Sur cet intervalle  :

ln(x+1)1x+1e \ln \left( x+1 \right) \leqslant 1 \Leftrightarrow x+1 \leqslant \text{e}

xe1 \Leftrightarrow x \leqslant \text{e} -1

et compte tenu de l'ensemble de définition :

S=]1 ; e1[. S = \left] -1~;~\text{e} -1 \right[.

Tle - Équations / inéquations avec logarithmes6

Soit l'équation : e2x3ex+2=0 \text{e}^{ 2x } -3 \text{e}^{ x } + 2 = 0

L'ensemble des solutions de cette équation est S={0 ;ln2}.S = \left\{ 0~; \ln 2 \right\}.

Tle - Équations / inéquations avec logarithmes6
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C'est vrai.

On effectue le changement de variable X=exX= \text{e}^{ x } :

e2x3ex+2=0X23X+2=0 \text{e}^{ 2x } -3 \text{e}^{ x } + 2 = 0 \Leftrightarrow X^2 -3X + 2 = 0

L'équation X23X+2=0 X^2 -3X + 2 = 0 a pour racines X1=1 X_1= 1 et X2=2 X_2 = 2 .

Or :

ex=1x=0 \text{e}^{ x } = 1 \Leftrightarrow x = 0

ex=2x=ln2. \text{e}^{ x } = 2 \Leftrightarrow x= \ln 2.

Donc S={0 ;ln2}.S = \left\{ 0~; \ln 2 \right\}.