1re

Variables aléatoires – espérance – variance

Ce quiz comporte 6 questions


facile

1re - Variables aléatoires – espérance – variance1

Soit XX une variable aléatoire qui ne prend que des valeurs négatives ou nulles.

L'espérance mathématique de XX est négative ou nulle.

1re - Variables aléatoires – espérance – variance1
1re - Variables aléatoires – espérance – variance1
1re - Variables aléatoires – espérance – variance1

C'est vrai.

En effet, la formule :

E(X)=p1x1+p2x2++pnxn E(X)= p_1x_1+ p_2x_2 + \cdots +p_nx_n

montre que E(X)E(X) est négative ou nulle lorsque tous les xix_i sont négatifs ou nuls.

1re - Variables aléatoires – espérance – variance2

Soient pp un réel appartenant à l'intervalle ]0 ; 0,5[ \left] 0~;~0,5 \right[ et XX une variable aléatoire prenant ses valeurs dans l'ensemble {1 ;0 ;1} \left\{ - 1~; 0~; 1 \right\} telle que : p(X=1)=p(X=1)=p. p(X= - 1)=p(X=1)=p.

La variance de XX est V(X)=p22. V(X) = \frac{ p^2 }{ 2 }.

1re - Variables aléatoires – espérance – variance2
1re - Variables aléatoires – espérance – variance2
1re - Variables aléatoires – espérance – variance2

C'est faux.

L'espérance mathématique de XX est :

E(X)=1×p+1×p=0. E(X) = - 1 \times p + 1 \times p = 0.

Sa variance est :

V(X)=E((XE(X))2)V(X) = E \left( \left( X - E(X) \right) ^2 \right) =E(X2) =E \left( X^2 \right) =(1)2×p+12×p=2p. = ( - 1)^2 \times p+1^2 \times p = 2p.

1re - Variables aléatoires – espérance – variance3

Soit XX une variable aléatoire dont la loi est donné par le tableau (incomplet) ci-dessous :

xi x_i 1 2 3 4
p(X=xi) p(X=x_i) 0,1 0,3 ? 0,1

p(X=3)=0,3.p(X=3) = 0,3.

1re - Variables aléatoires – espérance – variance3
1re - Variables aléatoires – espérance – variance3
1re - Variables aléatoires – espérance – variance3

C'est faux.

La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1.

Par conséquent :

p(X=3)=0,5.p(X=3) = 0,5.

1re - Variables aléatoires – espérance – variance4

Soit XX une variable aléatoire d'espérance μ\mu et d'écart-type σ\sigma .

La variable aléatoire X - X a pour espérance μ - \mu et pour écart-type σ. - \sigma.

1re - Variables aléatoires – espérance – variance4
1re - Variables aléatoires – espérance – variance4
1re - Variables aléatoires – espérance – variance4

C'est faux.

L'espérance est bien μ - \mu .

Par contre, un écart-type est toujours positif ou nul et ne peut donc être égal à σ. - \sigma.

Lorsqu'on multiplie une variable aléatoire par un nombre réel λ\lambda , son écart-type est multiplié par λ \left| \lambda \right| .

Donc l'écart-type de X - X est 1σ=σ. | - 1| \sigma = \sigma.

1re - Variables aléatoires – espérance – variance5

On lance un dé bien équilibré.

Si le « 6 » sort on gagne xx euros ;

dans les autres cas on perd 1 euro.

Le jeu est équitable (c'est à dire d'espérance nulle) si et seulement si x=6 x= 6

1re - Variables aléatoires – espérance – variance5
1re - Variables aléatoires – espérance – variance5
1re - Variables aléatoires – espérance – variance5

C'est faux.

E(X)=16+16+16+16+16+16×x E(X) = \frac{ - 1 }{ 6 } + \frac{ - 1 }{ 6 } + \frac{ - 1 }{ 6 } + \frac{ - 1 }{ 6 } + \frac{ - 1 }{ 6 } + \frac{ 1 }{ 6 } \times x

E(X)=5+x6 E(X) = \frac{ - 5+x }{ 6 }

Donc, l'espérance mathématique est nulle pour x=5.x=5.

1re - Variables aléatoires – espérance – variance6

Soit XX une variable aléatoire d'espérance μ\mu .

Alors, on a nécessairement p(X<μ)=p(X>μ). p(X < \mu ) = p(X > \mu ).

1re - Variables aléatoires – espérance – variance6
1re - Variables aléatoires – espérance – variance6
1re - Variables aléatoires – espérance – variance6

C'est faux.

Considérons, par exemple, la variable aléatoire dont la loi est donnée par le tableau ci-dessous :

xix_i -1 9
p(X=xi)p(X=x_i) 0,9 0,1

Alors :

μ=1×0,9+9×0,1=0 \mu = - 1 \times 0,9 +9 \times 0,1= 0

p(X<0)=0,9 p(X < 0 ) = 0,9 tandis que p(X>0)=0,1. p(X > 0 )= 0,1.

donc p(X<μ)p(X>μ). p(X < \mu ) \neq p(X > \mu ).