1re

Propriétés algébriques de l’exponentielle

Ce quiz comporte 6 questions


facile

1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle1

Soit x x un réel et  :

A=(ex+1)22ex1 A = \left( \text{e}^{ x } +1 \right) ^2 -2 \text{e}^{ x } -1

Pour tout xR x \in \mathbb{R} , A=e2x A = \text{e}^{ 2x }

1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle1
1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle1
1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle1

C'est vrai.

(ex+1)2=(ex)2+2ex+1=e2x+2ex+1\left( \text{e}^{ x } +1 \right) ^2 = \left( \text{e}^{ x } \right) ^2 + 2 \text{e}^{ x } + 1 = \text{e}^{ 2x } + 2 \text{e}^{ x } + 1

Par conséquent :

A=(ex+1)22ex1=e2x A = \left( \text{e}^{ x } +1 \right) ^2 -2 \text{e}^{ x } -1 = \text{e}^{ 2x }

1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle2

Pour xRx \in \mathbb{R} , on pose :

E=ex1ex+1+ex1ex+1E = \frac{ \text{e}^{ x } -1 }{ \text{e}^{ x } +1 }+\frac{ \text{e}^{ -x } -1 }{ \text{e}^{ -x } +1 }

E=0E=0 pour tout xR x \in \mathbb{R}.

1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle2
1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle2
1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle2

C'est vrai.

En utilisant le fait que ex=1ex \text{e}^{ -x } = \frac{ 1 }{ \text{e}^{ x } }  :

ex1=1exexex=1exex \text{e}^{ -x } -1 = \frac{ 1 }{ \text{e}^{ x } } -\frac{\text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } } = \frac{1 -\text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } }

ex+1=1ex+exex=1+exex \text{e}^{ -x } +1 = \frac{ 1 }{ \text{e}^{ x } } + \frac{\text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } } = \frac{1 + \text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } }

ex1ex+1=1exex×ex1+ex=1ex1+ex\frac{ \text{e}^{ -x } -1 }{ \text{e}^{ -x } +1 } = \frac{1 -\text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } } \times \frac{ \text{e}^{ x } }{1 + \text{e}^{ x }} = \frac{1 -\text{e}^{ x } }{1 + \text{e}^{ x }}

Par conséquent :

E=ex1ex+1+ex1ex+1E = \frac{ \text{e}^{ x } -1 }{ \text{e}^{ x } +1 }+\frac{ \text{e}^{ -x } -1 }{ \text{e}^{ -x } +1 } =ex1ex+1+1ex1+ex=0. = \frac{ \text{e}^{ x } -1 }{ \text{e}^{ x } +1 }+\frac{1 -\text{e}^{ x } }{1 + \text{e}^{ x }} =0.

1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle3

Dans R\mathbb{R}, l'équation e2x+ex=0 \text{e}^{ 2x } + \text{e}^{ x } = 0 admet une unique solution.

1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle3
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C'est faux.

La fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives donc e2x>0 \text{e}^{ 2x } > 0 et ex>0 \text{e}^{ x } > 0

Par conséquent e2x+ex>0 \text{e}^{ 2x } + \text{e}^{ x } > 0 et l'équation e2x+ex=0 \text{e}^{ 2x } + \text{e}^{ x } = 0 n'a pas de solution sur R.\mathbb{R}.

1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle4

Soit l'équation (E) (E)  :

(ex1)(ex+1)=0 \left( \text{e}^{ x } -1 \right) \left( \text{e}^{ x } + 1 \right) = 0

L'équation (E)(E) possède deux solutions sur R.\mathbb{R}.

1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle4
1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle4
1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle4

C'est faux.

(ex1)(ex+1)=0ex1=0 \left( \text{e}^{ x } -1 \right) \left( \text{e}^{ x } + 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \text{e}^{ x } -1 =0 ou ex+1=0 \text{e}^{ x } + 1 =0

Or, si la première équation admet une solution (égale à 0), le seconde n'a pas de solution car ex+1>0. \text{e}^{ x } + 1 > 0.

L'équation (E)(E) possède donc une unique solution sur R.\mathbb{R}.

1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle5

L'équation ex1=0 \text{e}^{ x-1 } = 0 a pour ensemble des solutions :

S={1}S = \left\{ 1 \right\}

1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle5
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1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle5

C'est faux.

La fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives.

Pour tout réel xx, on a donc ex1>0. \text{e}^{ x-1 } > 0.

L'équation ex1=0 \text{e}^{ x-1 } = 0 n'admet alors aucune solution.

1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle6

Soit l'équation :

ex1ex+1=0 \frac{ \text{e}^{ x } -1 }{ \text{e}^{ x } + 1 } = 0

L'ensemble des solutions de cette équation est S={0} S= \left\{ 0 \right\}

1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle6
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1re - Propriétés algébriques de l’exponentielle6

C'est vrai.

Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul ; or :

ex1=0ex=1x=0 \text{e}^{ x } -1 = 0 \Leftrightarrow \text{e}^{ x } = 1 \Leftrightarrow x=0

donc S={0}. S= \left\{ 0 \right\}.