1re

Produit scalaire et quadrillage

Ce quiz comporte 6 questions


facile

1re - Produit scalaire et quadrillage1

ABCD ABCD est le parallélogramme ci-dessous :

Parallélogramme et quadrillage

( L'unité correspond au côté d'un carré du quadrillage.)

ACBD=9 \overrightarrow{ AC } \cdot \overrightarrow{ BD } = 9

1re - Produit scalaire et quadrillage1
1re - Produit scalaire et quadrillage1
1re - Produit scalaire et quadrillage1

C'est vrai.

Les points BB et DD se projettent en AA et CC sur la droite (AC). \left( AC \right).

Alors :

ACBD=ACAC \overrightarrow{ AC } \cdot \overrightarrow{ BD } = \overrightarrow{ AC } \cdot \overrightarrow{ AC }=AC2=AC2=32=9. = \overrightarrow{ AC }^2 = AC^2 =3^2 =9.

1re - Produit scalaire et quadrillage2

On considère la figure ci-dessous, l'unité étant le carreau :

Produit scalaire 3 vecteurs

uv=uw \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w }

1re - Produit scalaire et quadrillage2
1re - Produit scalaire et quadrillage2
1re - Produit scalaire et quadrillage2

C'est faux.

Les vecteurs v \overrightarrow{ v } et w \overrightarrow{ w } sont opposés donc uv=uw \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = -\overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w }

Par ailleurs, ce produit scalaire n'est pas nul car u \overrightarrow{ u } n'est pas orthogonal à v \overrightarrow{ v } ( ou w \overrightarrow{ w } ) donc :

uvuw \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } \neq \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w }

1re - Produit scalaire et quadrillage3

Soit le triangle ABC ABC ci-dessous :

Produit Scalaire et quadrillage

L'unité de longueur correspond au côté d'un carré du quadrillage.

ABAC=16. \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC } = 16.

1re - Produit scalaire et quadrillage3
1re - Produit scalaire et quadrillage3
1re - Produit scalaire et quadrillage3

C'est faux.

Le point CC se projette en HH sur la droite (AB) (AB)  :

Produit Scalaire et quadrillage

L'angle BAC^ \widehat{ BAC } étant aigu :

ABAC=AH×AB=4×6=24. \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC } = AH \times AB = 4 \times 6 = 24.

1re - Produit scalaire et quadrillage4

On considère les vecteurs u \overrightarrow{ u }, v \overrightarrow{ v } et w \overrightarrow{ w } ci-dessous :

Produit scalaire de vecteurs

uv=3×uw \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = 3 \times \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w }

1re - Produit scalaire et quadrillage4
1re - Produit scalaire et quadrillage4
1re - Produit scalaire et quadrillage4

C'est vrai.

Les vecteurs v \overrightarrow{ v } et w \overrightarrow{ w } se projettent en v \overrightarrow{ v ^{\prime} } et w \overrightarrow{ w ^{\prime} } sur l'axe de vecteur directeur u \overrightarrow{ u } :

Produit scalaire de vecteurs

uv=uv=4×6=24 \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v ^{\prime} } = 4 \times 6 = 24

uw=uw=4×2=8. \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w } = \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w ^{\prime} } = 4 \times 2 = 8.

Donc uv=3×uw \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ v } = 3 \times \overrightarrow{ u } \cdot \overrightarrow{ w }

1re - Produit scalaire et quadrillage5

On considère le triangle rectangle isocèle ABC ABC de hauteur [AH][AH] ci-dessous :

Triangle isocèle et quadrillage

L'unité est la longueur du côté d'un carré du quadrillage.

CHAB=9 \overrightarrow{ CH } \cdot \overrightarrow{ AB } = 9

1re - Produit scalaire et quadrillage5
1re - Produit scalaire et quadrillage5
1re - Produit scalaire et quadrillage5

C'est vrai.

Le point AA se projette en HH sur la droite (BC). (BC).

Les vecteurs CH \overrightarrow{ CH } et HB \overrightarrow{ HB } sont égaux.

Par conséquent :

CHAB=CHHB=CH2=CH2=32=9. \overrightarrow{ CH } \cdot \overrightarrow{ AB } = \overrightarrow{ CH } \cdot \overrightarrow{ HB } = \overrightarrow{ CH }^2=CH^2 = 3^2 = 9.

1re - Produit scalaire et quadrillage6

On considère la figure ci-dessous :

Produit scalaire et angle obtus

ABAC \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC } est strictement négatif.

1re - Produit scalaire et quadrillage6
1re - Produit scalaire et quadrillage6
1re - Produit scalaire et quadrillage6

C'est vrai.

L'angle BAC^ \widehat{ BAC } est obtus donc le produit scalaire ABAC \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC } est strictement négatif.