1re

Dérivée produit/quotient

Ce quiz comporte 6 questions


moyen

1re - Dérivée produit/quotient1

Soit la fonction ff définie sur R\{0}\mathbb{R} \backslash \{ 0\} par :

f(x)=x+1x f(x) = \frac{ x+1 }{ x }

Pour la fonction f f , un élève a dressé ce tableau de variations :

tableau de variation fonction inverse

Le tableau de variations proposé est correct.

1re - Dérivée produit/quotient1
1re - Dérivée produit/quotient1
1re - Dérivée produit/quotient1

C'est vrai.

On pose u(x)=x+1 u(x) = x+1 et v(x)=x. v(x) = x.

Alors : u(x)=v(x)=1.u ^{\prime}(x) = v ^{\prime}(x) = 1.

Par conséquent :

f(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2 f ^{\prime}(x) = \frac{ u ^{\prime}(x)v(x) -u(x)v ^{\prime}(x) }{ v(x)^2 }

=x(x+1)x2=1x2 = \frac{ x -(x + 1) }{x^2 } = \frac{ -1 }{ x^2 }

f f ^{\prime} est strictement négative sur chacun des intervalles ] ; 0[ \left] -\infty~;~0 \right[ et ]0 ; +[. \left] 0~;~+\infty \right[.

ff est donc décroissante sur ces intervalles et le tableau de variations est correct.

1re - Dérivée produit/quotient2

Soit mm un nombre réel et ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=x2+mx2+1 f(x) = \frac{ x^2 + m }{ x^2 + 1 }

Pour m<1 m < 1, la fonction ff est croissante sur ]0 ; +[ \left] 0~;~+\infty \right[

1re - Dérivée produit/quotient2
1re - Dérivée produit/quotient2
1re - Dérivée produit/quotient2

C'est vrai.

Posons u(x)=x2+m u(x) = x^2 + m et v(x)=x2+1 v(x) = x^2 + 1 .

On obtient : u(x)=2x u ^{\prime}(x) = 2x et v(x)=2x. v ^{\prime}(x) = 2x.

Alors :

f(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2 f ^{\prime}(x) = \frac{ u ^{\prime}(x)v(x) -u(x)v ^{\prime}(x) }{ v(x)^2 }

=2x(x2+1)2x(x2+m)(x2+1)2 = \frac{ 2x(x^2 + 1) -2x(x^2 +m) }{(x^2 + 1)^2 } =2x(1m)(x2+1)2 = \frac{ 2x(1-m) }{ (x^2 + 1)^2 }

Pour m<1 m < 1 et x>0 x > 0  : f(x)>0 f ^{\prime}(x) > 0  ;

donc ff est croissante sur l'intervalle ]0 ; +[ \left] 0~;~+\infty \right[ pour m<1. m < 1.

1re - Dérivée produit/quotient3

Soit la fonction ff définie sur R\{1}\mathbb{R} \backslash \{ 1\} par :

f(x)=x2+1x1 f(x) = \frac{ x^2+1 }{ x-1 }

ff est dérivable sur R\{1}\mathbb{R} \backslash \{ 1\} et f(x)=x22x+1(x1)2. f ^{\prime}(x) = \frac{ x^2-2x+1 }{ (x-1)^2 }.

1re - Dérivée produit/quotient3
1re - Dérivée produit/quotient3
1re - Dérivée produit/quotient3

C'est faux.

On pose u(x)=x2+1 u(x) = x^2+1 et v(x)=x1 v(x) = x-1 .

Alors : u(x)=2x u ^{\prime}(x) = 2x et v(x)=1. v ^{\prime}(x) = 1.

Par conséquent :

f(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2 f ^{\prime}(x) = \frac{ u ^{\prime}(x)v(x) -u(x)v ^{\prime}(x) }{ v(x)^2 }

=2x(x1)(x2+1)(x1)2 = \frac{ 2x(x -1)-(x^2+1) }{(x -1)^2 } =x22x1(x1)2 = \frac{x^2-2x \red{-}1 }{ (x -1)^2 }

1re - Dérivée produit/quotient4

Soit nn un entier naturel non nul et ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=(xn+1)(xn1) f(x) = (x^n+1)(x^n-1)

f(1)=n2f ^{\prime}(1) = n^2

1re - Dérivée produit/quotient4
1re - Dérivée produit/quotient4
1re - Dérivée produit/quotient4

C'est faux.

Le plus simple, ici, est de développer ff en utilisant une identité remarquable :

f(x)=(xn+1)(xn1)=(xn)21 f(x) = (x^n+1)(x^n-1) = (x^n)^2 -1 =x2n1=x^{2n}-1

Donc :

f(x)=2nx2n1 f ^{\prime}(x) = 2n x^{2n-1}

Par conséquent : f(1)=2n.f ^{\prime}(1) = 2n.

1re - Dérivée produit/quotient5

Soit la fonction ff définie sur R\{2}\mathbb{R} \backslash \{ 2\} par :

f(x)=x1x2 f(x) = \frac{ x-1 }{ x-2 }

La fonction ff est strictement décroissante sur l'intervalle ]2 ; +[. \left] 2~;~+\infty \right[.

1re - Dérivée produit/quotient5
1re - Dérivée produit/quotient5
1re - Dérivée produit/quotient5

C'est vrai.

On pose u(x)=x1 u(x) = x-1 et v(x)=x2 v(x) = x-2 .

Alors : u(x)=1 u ^{\prime}(x) = 1 et v(x)=1. v ^{\prime}(x) = 1.

Par conséquent :

f(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2 f ^{\prime}(x) = \frac{ u ^{\prime}(x)v(x) -u(x)v ^{\prime}(x) }{ v(x)^2 }

=(x2)(x1)(x2)2=1(x2)2 = \frac{ (x -2) -(x -1) }{(x -2)^2 } = \frac{ -1 }{ (x -2)^2 }

f f ^{\prime} est strictement négative sur l'intervalle ]2 ; +[ \left] 2~;~+\infty \right[

donc ff est strictement décroissante sur cet intervalle.

1re - Dérivée produit/quotient6

Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.

On pose : g(x)=x2×f(x) g(x) = x^2 \times f(x)

g(0)=0.g ^{\prime}(0)=0.

1re - Dérivée produit/quotient6
1re - Dérivée produit/quotient6
1re - Dérivée produit/quotient6

C'est vrai.

On pose u(x)=x2 u(x) = x^2 et v(x)=f(x). v(x) = f(x).

Alors : u(x)=2xu ^{\prime}(x) = 2x et v(x)=f(x). v ^{\prime}(x) = f ^{\prime}(x).

Par conséquent :

g(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)g ^{\prime}(x) = u ^{\prime}(x)v(x) + u(x)v ^{\prime}(x) =2xf(x)+x2f(x) = 2xf(x) + x^2f ^{\prime}(x)

Donc g(0)=2×0×f(0)+02×f(0)=0. g ^{\prime}(0) = 2 \times 0 \times f(0) + 0^2 \times f ^{\prime}(0) = 0.